Conceitos Básicos

Através da transformada de Fourier, pode-se decompor um sinal em seus componentes de freqüência (senos e cossenos), de forma que um coeficiente de Fourier reflete a importância de determinada freqüência para o sinal. Em sinais discretos, pode ser feita a redução de dimensionalidade (extração de características) através dos descritores de Fourier. Para expor essa técnica, inicialmente serão definidos alguns conceitos básicos.

Dado um sinal contínuo e unidimensional $x(t)$, sua transformada de Fourier é definida por:

$$y(f)=F(x(t))=\int_{-\infty}^{\infty} x(t) \cdot e^{-i 2 \pi f t}dt,$$ (3.3)

em que $f$ denota freqüência, ou seja, a variável básica do domínio de Fourier, e $t$ denota tempo. A inversa da transformada de Fourier é definida por:

$$x(t)=F^{-1}(y(f))=\int_{-\infty}^{\infty}y(f) \cdot e^{i 2 \pi ft}dt,$$ (3.4)

Uma condição suficiente para a existência da transformada de Fourier de um sinal é que ele seja integrável, ou seja,

$$\int_{-\infty}^{\infty}\vert x(t)\vert dt < \infty$$ (3.5)

A série de Fourier pode ser vista como um caso especial da transformada de Fourier. Dessa forma, uma função periódica $x(t)$, de período $\mathcal{T}_0$, pode ser expressa pela seguinte série de Fourier:

$$x(t) = \sum_{s=-\infty}^{\infty} \alpha_s e^{i 2\pi s f_0 t},$$ (3.6)

em que $\alpha_s$ são os coeficientes (complexos) da série e $f_0 = 1/\mathcal{T}_0$ é a freqüência fundamental. Esses coeficientes podem ser definidos como:

$$\alpha_s = \frac{1}{\mathcal{T}_0}\int_{-\mathcal{T}_0 / 2}^... ... 2} x(t) e^{- i 2 \pi s f_0 t} dt, s = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$$ (3.7)

Por isso, pode-se associar a série de Fourier à transformada de Fourier através de uma discretização do domínio da freqüência, em função da periodicidade do sinal $x(\cdot)$ [Cesar-Jr, 1997].

Dessa forma, a partir da transformada contínua de Fourier, pode-se definir a sua versão discreta. Essa transformada determina os descritores de Fourier. Seja $x(n)$ um sinal discreto definido por uma cadeia de tamanho $N$ ( $n = 0, 1, \cdots, N-1$), assumindo-se que $x$ é um sinal periódico e que a cadeia $x(n)$ contém um período desse sinal, a transformada discreta de Fourier desse sinal se dá por:

$$y(s) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-i 2 \pi n s/N} , s = 0, 1, \cdots, N-1$$ (3.8)

Os coeficientes de $y(s)$ são os descritores de Fourier de $x(n)$. Com esses coeficientes, pode-se obter uma reconstrução perfeita do sinal $x(n)$ utilizando a tranformada inversa de Fourier discreta:

$$x(n) = \frac{1}{N}\sum_{s=0}^{N-1} y(s) e^{i 2 \pi n s/N}, n = 0, 1, \cdots, N-1$$ (3.9)

Devido ao fato de imagens serem padrões originariamente descritos por matrizes, é importante mencionar que a transformada de Fourier pode ser generalizada de forma a poder ser aplicada em sinais bidimensionais. Detalhes a respeito desse assunto podem ser encontrados em [Gonzalez and Woods, 1992].