Redução de Dimensionalidade usando a Transformada de Fourier Discreta

Conhecendo-se os conceitos básicos da transformada discreta de Fourier, pode-se ilustrar como é realizada a redução de dimensionalidade através dela. Suponha que, na equação 3.9, ao invés de se utilizar todos os $y(s)$ coeficientes, sejam utilizados apenas $m$ coeficientes para reconstruir-se o sinal. Isso é equivalente a fazer $y(s) = 0$ para todo $s > m-1$ naquela equação, resultando na seguinte aproximação para $x(n)$:

$$\overline{x}(n) = \frac{1}{N}\sum_{s=0}^{m-1} y(s) e^{i 2 \pi n s/N}, n = 0, 1, \cdots, N-1$$ (3.10)

Apesar de serem usados apenas $m$ descritores para obter cada componente de $\overline{x}(n)$, $n$ ainda varia de 0 a $N-1$. Isto é, a aproximação do sinal possui o mesmo tamanho que o sinal original. Os primeiros coeficientes de Fourier referem-se às freqüências mais baixas do sinal, que geralmente contêm informações mais globais dos padões comumente encontrados em problemas de visão. Já os últimos referem-se às freqüências mais altas do sinal, as quais são geralmente associadas a informações mais detalhadas ou finas dos padrões ou são causadas por ruídos [Gonzalez and Woods, 1992].

Por isso, pode-se reduzir a dimensionalidade desses padrões (imagens) utilizando apenas seus $m$ primeiros descritores de Fourier. Assim, as imagens reconstruídas a partir desses descritores apresentam borramentos e redução dos detalhes das bordas, mas as informações mais importantes para caracterizar os objetos contidos nas imagens não são perdidas. Portanto, pode-se efetuar reconhecimento de objetos em imagens utilizando-se padrões $m$-dimensionais, constituidos pelos $m$ primeiros descritores de Fourier das imagens. Dessa forma, para efetuar classificação utilizando padrões com dimensionalidade menor, pode-se representá-los por $\overline{y}$, tal que:

$$\overline{y}(f) = y(f), f = 0, 1, 2, \cdots, m-1 \hspace{3mm} para \hspace{3mm} m<N$$ (3.11)

tomando-se o cuidado de definir $\overline{y}(f)=0$ para todo $f \geq m$ caso seja realizada a reconstrução do padrão.

Na figura 3.1, há um exemplo que ilustra os efeitos da redução da dimensionalidade na reconstrução de um sinal. Foram criados dois sinais aleatórios discretos de tamanho 50 ($x_1$ e $x_2$). Posteriormente, foi calculada a transformada de Fourier desses sinais e, com apenas os 25 primeiros coeficientes, foi realizada a reconstrução desses sinais. Pode-se notar que os sinais reconstruídos são uma versão ``suavizada'' dos sinais originais. Também é possível verificar que, apesar de terem sido utilizados, no processo de reconstrução, metade dos descritores de Fourier disponíveis, os sinais reconstruídos preservaram informações importantes dos originais. Dessa forma, com 25 coeficientes é visualmente possível distingüir qual reconstrução se refere ao sinal $x_1$ e qual se refere ao sinal $x_2$. Com isso, fica ilustrado como é possível efetuar uma classificação de padrões de dimensionalidade reduzida através da transformada de Fourier.

.95fourier.ps Dois exemplos de sinais de tamanho 50 ($x_1$ e $x_2$, acima) e suas respectivas reconstruções a partir de 25 descritores de Fourier (abaixo).

Pelas propriedades da transformada de Fourier, podemos notar que a utilização de descritores de Fourier é uma abordagem bastante eficiente de reconhecimento de padrões e visão computacional. Além disso, essa abordagem proporciona redução de dimensionalidade de forma eficiente e sem perda de informações relevantes em visão computacional.